Proseminar (6524): Spiegelungsgruppen (SS 2004 - Prof. Dr. M. Rapoport, Dr. J. Stix)
Informationen und Organisatorisches
Proseminar zur Vorlesung Lineare Algebra II.Termin Dienstag, 16-18, Seminarraum C in Beringstrasse 1.
Vorbesprechung: Am Donnerstag, den 5.2.2004, um 15:00
im Hausdorffraum, Beringstrasse 3.
Eine Spiegelung im n-dimensionalen Euklidischen Raum ist eine lineare Transformation des Rn, die eine Hyperebene fest läßt und einen von Null verschiedenen Vektor in sein Negatives überführt. Die Symmetriegruppe eines Würfels im R3 besteht aus 24 Spiegelungen und 24 Drehungen, von denen jede wiederum als Produkt von Spiegelungen geschrieben werden kann. Dies ist ein einfaches Beispiel einer endlichen Spiegelungsgruppe.
Spiegelungsgruppen dominieren auch die Geometrie der anderen platonischen Körper, die Geometrie von Pflasterungen der Ebene und die Symmetrien der Kristallographie. So findet das Fehlen fünfzähliger Symmetrie in der Röntgenstrukturanalyse von Kristallen eine mathematische Erklärung.
Aber auch in komplizierteren mathematischen Theorien, die nicht im Proseminar behandelt werden, tauchen Spiegelungsgruppen natürlicherweise auf. In der Strukturtheorie von Liealgebren und von linearen algebraischen Gruppen, etwa SLn, spielen sie eine wichtige Rolle.
Ziel: Wir wollen in diesem Proseminar die endlichen Spiegelungsgruppen studieren und ihre Klassifikation mittels einer Mischung aus linearer Algebra (Spiegelungen und Drehungen), einfacher Gruppentheorie und Geometrie erreichen.
Vorkenntnisse: Das Proseminar wendet sich explizit an die Hörer der Vorlesung Lineare Algebra 1+2 von Prof. Rapoport, aber auch andere Interessenten sind willkommen.
Eine Vortragsliste in ps oder pdf.
Termine, Themen und Sprecher:
| Datum | # | Thema | Sprecher(in) | Literatur |
| 20.04.2004 | 1 | Dimension 2 | Evelyn Bakker | GB |
| 27.04.2004 | 2 | Platonische Körper | Boryana Dimitrova, Anja Hesse | GB,Cx,RT,Ar |
| 04.05.2004 | 3 | Rotationsgruppen in Dimension 3 | Malte Beecken, Leonhard Schneider | GB,Ar |
| 11.05.2004 | 4 | Endliche Gruppen in Dimension 3 | Matthias Erbar | Ar,GB |
| 18.05.2004 | 5 | Wurzelsysteme | Rupert Zinnecker | GB,Hu |
| 25.05.2004 | 6 | Einfache Wurzeln | Anton Stephan, Thilo Henrich | Hu,GB |
| 08.06.2004 | 7 | Fundamentalbereiche | Stephan Hähne, Thomas Wotschke | GB |
| 15.06.2004 | 8 | Fundamentalbereiche für
endliche Spiegelungsgruppen |
Andreas Müller | Hu,GB |
| 22.06.2004 | 9 | Coxetergraphen/ Klassifikation 1 |
Stephan Hensel, Charlotte Perry | GB,Hu |
| 29.06.2004 | 10 | ADE-Kombinatorik/ Klassifikation 2 |
Stefan Krämer | Hi,Hu,GB |
| 06.07.2004 | 11 | Konstruktion von Spiegelungsgruppen | Dominic Schrögendorfer | GB,Hu |
| 13.07.2004 | 12 | Kristallographisches | Jan Zernisch | GB,Ar,Ya |
| 20.07.2004 | 13 | Parabolische Untergruppen | --- | Hu,GB |
| 27.07.2004 | 14 | (Puffer) | --- | --- |
Genauere Informationen findet man in der Vortragsliste: ps , pdf.
Literatur:
[Ar] Artin, M., Algebra, Birkhauser Advanced Texts (1993).[Cx] Coxeter, H. S. M., Introduction to Geometry, John Wiley (1969), 2nd edition.
[GB] Grove, L. C., Benson, C. T., Finite Reflection Groups, Graduate Texts in Math. 99, Springer (1985), 2nd edition.
[Hu] Humphreys, J. E., Reflection Groups and Coxeter Groups, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 29, Cambridge Univ. Press (1990).
[Hi] Hiller, H., Geometry of Coxeter Groups, Research Notes in Mathematics 54, Pitman (1982).
[RT] Rademacher, H., Toeplitz, O., Von Zahlen und Figuren, Heidelberger Taschenbücher 50, Springer (2000), Nachdruck.
[Ya] Yale, P. B., Geometry and Symmetry, Holden-Day (1968).
Letzte Änderung: 08.03.2010, Sekretariat Prof. Dr. M. Rapoport